Why numbering should start at zero

著名的计算机科学家Dijkstra在1982年的手稿中简要讨论了“为什么数字下标要从0开始”这个问题。

首先，他讨论了表示范围的最佳形式。 比如表示自然数序列2，3，···，12，有四种方法：

1. 2 ≤ i < 13 ，或者记作[2, 13)。
2. 1 < i ≤ 12 ，或者记作(1, 12]。
3. 2 ≤ i ≤ 12 ，或者记作[2, 12]。
4. 1 < i < 13 ，或者记作(1, 13)。

方法1是最好的

Dijkstra认为方法1和2是比较好的表示形式，原因有两个。

其一，范围的上限减去下限等于范围内元素的个数。 比如方法1中，13 - 2 = 11，而范围内刚好就有11个元素。 方法2也有同样的性质，但方法3和4就没有。

其二，连续的范围没有重叠。 两个连续的范围我们希望可以写成“a到b”和“b到c”这样的形式。 如果使用方法3，12就同时包含在 [2, 12] 和 [12, 24] 这两个范围里； 类似的，使用方法4，13既不包含在 (2, 13) 里也不在 (13, 25) 里。 用方法1和2就没有这样的问题。比如 [2, 13) 和 [13, 25) 是两个连续的范围，13只会包含在后一个里。

虽然方法1和2都能满足上面两条性质，但Dijkstra继续给出了方法1比方法2好的理由： 我们常常会用到有下限无上限的集合，最典型的是自然数集合。 比如要表示自然数集合内的范围“0到10”， 用方法1可以写成 [0, 11) ， 用方法2可以写成 (-1, 10] 。 方法2的问题是形式中出现了-1这个非自然数， 用非自然数来表示一个自然数集合内的范围显然不是一个好的选择。

为什么下标要从0开始

Dijkstra进而在其手稿中继续讨论数字下标为什么从0开始的问题，

他给出的第一个理由是，如果你能接受前半段关于表示范围的最佳表示方法的结论，那么N个元素的数列下标可以采用 [0, N) 或者 [1, N+1) 两种形式，前一种不需要+1也就显得更简洁了。

另一个理由是，如果从0开始标号，那数列中某个元素的下标就等于排在它前面元素的个数，这在很多时候是一个可以方便使用的性质。

第三个理由有点模糊，他说0是”最自然的数”（a most natural number），却没有给出具体的解释。 于是我强行解释一下：计算机中的数用二进制表示，所有的位都是off时，便是起点，也就是最自然的数吧。

你问我资瓷不资瓷Dijkstra，那肯定回答资瓷

Dijkstra绕了个圈子论证了从0开始的正当性，我能联想到与此相关的最直接的编程技巧是C语言中的数组操作：读取数组元素的操作和指针操作有比较直接的等价关系。

具体地说，C语言中 arr[idx] 等价于 *(arr + idx) 。 指针操作你可以看作对base地址偏移offset的量， 即在 *(arr + idx) 式子中， arr 是base地址， idx 是offset。 试想如果下标设计成从1开始，那C语言可能需要设计成 arr[idx] 等价于 *(arr + idx - 1) 了。

本文英文原文: 计算机科学家Dijkstra在1982年的手稿
本文中文翻译原文: czheo GitHub